Du bist beim Lernenüber Zahlenfolgen gestolpert und willst dir nochmal anschauen, was das genau ist und wie du Zahlenfolgen aufschreibst? Dann bist du hier genau richtig! Im Beitrag und im Videofindest du alles Wichtige.
Eine Zahlenfolge ist eine Aneinanderreihungvon Zahlen, die nach einem bestimmten Muster fortgeführt wird. Dabei ordnest du jeder natürlichen Zahl neine reelle Zahlzu:
(an) = 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; …
Die Folgengliedera1 = 2, a2 = 4 und a3 = 6zeigen dir, dass du eine natürliche Zahl n immer mit 2 multiplizierst, um das n-te Folgengliedzu bekommen. Dieses Muster kannst du nun auch allgemein als Bildungsvorschrift darstellen:
an = 2 · n
Es gibt viele verschiedene Zahlenfolgen:
(an) = 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; …
(an) = 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; …
(an) = 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; …
Zahlenfolge als Funktion
Da bei einer Zahlenfolge alle Folgengliedereiner natürlichen Zahlzugeordnet werden können, kannst du sie auch mit den Eigenschaften einer Funktionbeschreiben. Als Definitionsbereich hat diese dann die Menge der natürlichen Zahlen und als Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen.
Zahlenfolgen — Bildungsvorschrift
Mit einer Bildungsvorschrift stellst du eine Zahlenfolge allgemein dar. So musst du nicht die ganze Zahlenfolge aufschreiben, sondern kannst einfach die Bildungsvorschrift zum Berechnen der Folgengliedernennen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Möglichkeiten.
Explizite Bildungsvorschrift
Wenn du die Zahlenfolge ohneein vorheriges Folgengliedallgemein darstellen kannst, dann sprichst du von einer explizitenBildungsvorschrift:
an = 2 · n
Hier kannst du jedes Folgengliedbestimmen, ohne irgendein anderes Folgengliedzu kennen. Du setzt für n einfach eine natürliche Zahlein, multiplizierst sie mit 2 und bekommst ein entsprechendes Folgengliedan raus. Setze zum Beispiel n = 1, n = 3 und n = 10 ein:
a1 = 2 · 1 = 2 a3 = 2 · 3 = 6 a10 = 2 · 10 = 20
Rekursive Bildungsvorschrift
Wenn sich ein Folgenglied aus dem Folgenglied davor ergibt, dann ist das eine rekursive Bildungsvorschrift:
an = an-1 + 2
Hier addierst du auf das jeweiligevorherige Folgengliedan-1 die Zahl 2. Dafür muss ein Anfangsgliedwie zum Beispiel a1 = 3gegeben sein, damit du a2 berechnen kannst. Du addierst also 3 + 2 und bekommst so a2 = 5 heraus:
a2 = a2-1 + 2 = 3 + 2 = 5
Das Gleiche machst du nun auch mit weiteren Folgengliedern, um die Zahlenfolge zu berechnen:
Es gibt endliche und unendliche Zahlenfolgen. Ordnest du nur eine endlicheTeilmenge der natürlichen Zahlen den reellen Zahlen zu, dann ist die Zahlenfolge endlich: {1 ; 2 ; 3 } →
Wenn dualle natürlichen Zahlenden reellen Zahlen zuordnest, dann ist die Zahlenfolge unendlich: →
Eine Zahlenfolge kann verschiedeneEigenschaften aufweisen:
Monoton fallend: Werden alle Folgengliederohne Ausnahme immer kleiner oder bleiben gleich, dann ist die Zahlenfolge monoton fallend (an+1 ≤ an) → Beispiel: (an) = 5 – n · 2
Monoton wachsend: Werden alle Folgengliederohne Ausnahme immer größer oder bleiben gleich, dann ist die Zahlenfolge monoton wachsend (an+1 ≥ an) → Beispiel: (an) = n2
Du kannst eine Zahlenfolge als streng monoton wachsend (an+1 > an) oder fallend (an+1 < an) bezeichnen, wenn die Folgengliederimmer größer bzw. immer kleiner werden, aber nie gleich bleiben.
Nach unten beschränkt: Eine Zahlenfolge ist nach unten beschränkt, wenn die Folgengliedernie kleiner als ein bestimmter Wert t werden. Dann wird die Zahlenfolge durch den Wert t nach unten beschränkt (an ≥ t) → Beispiel: (an) = n2durch t = 1 nach unten beschränkt
Nach oben beschränkt: Eine Zahlenfolge ist nach oben beschränkt, wenn die Folgengliedernie größer als ein bestimmter Wert s werden. Dann wird die Zahlenfolge durch den Wert s nach oben beschränkt (an≤ s) → Beispiel: (an) = 5 – n · 2 durch s = 3 nach oben beschränkt
Eine Zahlenfolge kannst du als beschränkt bezeichnen, wenn sie sowohl durch einen Wert t nach unten als auch durch einen Wert s nach oben beschränkt wird (t ≤ an≤ s).
Alternierend: Hat bei einer Zahlenfolge jedes Folgengliedein anderes Vorzeichen als das vorherige Zahlenglied, dann ist die Zahlenfolge alternierend (an+1 · an < 0). → Beispiel: (an) = (-2)n
Konstant: Wenn jedes Folgengliedgleich ist, dann ist die Zahlenfolge konstant(an+1 = an) → Beispiel: (an) = an-1; a1 = 1
Zahlenfolge — häufigste Fragen
Was ist eine Zahlenfolge? Eine Zahlenfolge besteht aus mehreren Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge stehen. Du kannst die Folgengliederder Zahlenfolge bestimmen, wenn du auf den Anfangswert eine Zahl addierst, subtrahiert, multiplizierst oder dividierst. Dein Ergebnis ist dann wieder der Anfangswert beim Berechnen des nächsten Zahlenglieds.
Was ist eine Bildungsvorschrift? Eine Bildungsvorschrift ist eine Möglichkeit, eine Zahlenfolge allgemein darzustellen. So kannst du jedes Folgenglied berechnen und brauchst nicht die ganze Zahlenfolge aufzuschreiben. Wenn du jedes Folgenglied ohne ein vorheriges Folgengliedberechnen kannst, sprichst du von einer expliziten Bildungsvorschrift, sonst ist es eine rekursive Bildungsvorschrift.
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