Zahlenfolgen • Definition und Beispiele (2025)

Video

Quiz

Teste dein Wissen zum Thema Zahlenfolgen!

Hier geht's zum Video „Monotonie“Hier geht's zum Video „Fibonacci-Folge“

Du bist beim Lernenüber Zahlenfolgen gestolpert und willst dir nochmal anschauen, was das genau ist und wie du Zahlenfolgen aufschreibst? Dann bist du hier genau richtig! Im Beitrag und im Videofindest du alles Wichtige.

Quiz zum ThemaZahlenfolgen

5 Fragen beantworten

Inhaltsübersicht

Zahlenfolgen einfach erklärt

im Videozur Stelle im Video springen

(00:13)

Eine Zahlenfolge ist eine Aneinanderreihungvon Zahlen, die nach einem bestimmten Muster fortgeführt wird. Dabei ordnest du jeder natürlichen Zahl neine reelle Zahlzu:

(an) = 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; …

Die Folgengliedera1 = 2, a2 = 4 und a3 = 6zeigen dir, dass du eine natürliche Zahl n immer mit 2 multiplizierst, um das n-te Folgengliedzu bekommen. Dieses Muster kannst du nun auch allgemein als Bildungsvorschrift darstellen:

an = 2 · n

Es gibt viele verschiedene Zahlenfolgen:

  • (an) = 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; …
  • (an) = 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; …
  • (an) = 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; …

Zahlenfolge als Funktion

Da bei einer Zahlenfolge alle Folgengliedereiner natürlichen Zahlzugeordnet werden können, kannst du sie auch mit den Eigenschaften einer Funktionbeschreiben. Als Definitionsbereich hat diese dann die Menge der natürlichen Zahlen und als Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen.

Zahlenfolgen — Bildungsvorschrift

Mit einer Bildungsvorschrift stellst du eine Zahlenfolge allgemein dar. So musst du nicht die ganze Zahlenfolge aufschreiben, sondern kannst einfach die Bildungsvorschrift zum Berechnen der Folgengliedernennen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Möglichkeiten.

Explizite Bildungsvorschrift

Wenn du die Zahlenfolge ohneein vorheriges Folgengliedallgemein darstellen kannst, dann sprichst du von einer explizitenBildungsvorschrift:

an = 2 · n

Hier kannst du jedes Folgengliedbestimmen, ohne irgendein anderes Folgengliedzu kennen. Du setzt für n einfach eine natürliche Zahl ein, multiplizierst sie mit 2 und bekommst ein entsprechendes Folgengliedan raus. Setze zum Beispiel n = 1, n = 3 und n = 10 ein:

a1 = 2 · 1 = 2
a3 = 2 · 3 = 6
a10 = 2 · 10 = 20

Rekursive Bildungsvorschrift

Wenn sich ein Folgenglied aus dem Folgenglied davor ergibt, dann ist das eine rekursive Bildungsvorschrift:

an = an-1 + 2

Hier addierst du auf das jeweiligevorherige Folgengliedan-1 die Zahl 2. Dafür muss ein Anfangsglied wie zum Beispiel a1 = 3gegeben sein, damit du a2 berechnen kannst. Du addierst also 3 + 2 und bekommst so a2 = 5 heraus:

a2 = a2-1 + 2 = 3 + 2 = 5

Das Gleiche machst du nun auch mit weiteren Folgengliedern, um die Zahlenfolge zu berechnen:

a3 = a3-1 + 2 = 5 + 2 = 7
a4 = a4-1 + 2 = 7 + 2 = 9

Zahlenfolgen und Bildungsvorschriften — Beispiele

im Videozur Stelle im Video springen

(01:57)

Damit du dir besser vorstellen kannst, was eine Zahlenfolge und ihre Bildungsvorschrift sind, schau dir die folgenden Beispiele an:

  1. (an) = 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; …
    Rekursive Bildungsvorschrift: an = an-1 + 2 ; a1 = 2
  2. (an) = 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; …
    Rekursive Bildungsvorschrift: an = 2 · an-1 ; a1 = 1
  3. (an) = 1 ; Zahlenfolgen • Definition und Beispiele (1) ; Zahlenfolgen • Definition und Beispiele (2) ; Zahlenfolgen • Definition und Beispiele (3) ; …
    Explizite Bildungsvorschrift: an =Zahlenfolgen • Definition und Beispiele (4)
  4. (an) = 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13; …
    Rekursive Bildungsvorschrift: an = an-1 + an-2 ; a1 = a2 = 1
    → Das ist die sogenannte Fibonacci Folge
  5. (an) = 1 ; -2 ; 3 ; -4 ; 5 ; -6 ; …
    Explizite Bildungsvorschrift: an = (-1)n+1 · n

Endliche und unendliche Zahlenfolgen

Es gibt endliche und unendliche Zahlenfolgen. Ordnest du nur eine endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen den reellen Zahlen zu, dann ist die Zahlenfolge endlich: {1 ; 2 ; 3 } → Zahlenfolgen • Definition und Beispiele (5)

Wenn du alle natürlichen Zahlen den reellen Zahlen zuordnest, dann ist die Zahlenfolge unendlich: Zahlenfolgen • Definition und Beispiele (6)Zahlenfolgen • Definition und Beispiele (7)

Zahlenfolgen — Eigenschaften

im Videozur Stelle im Video springen

(02:51)

Eine Zahlenfolge kann verschiedeneEigenschaften aufweisen:

  1. Monoton fallend: Werden alle Folgengliederohne Ausnahme immer kleiner oder bleiben gleich, dann ist die Zahlenfolge monoton fallend (an+1 ≤ an)
    → Beispiel: (an) = 5 – n · 2
  2. Monoton wachsend: Werden alle Folgengliederohne Ausnahme immer größer oder bleiben gleich, dann ist die Zahlenfolge monoton wachsend (an+1 ≥ an)
    → Beispiel: (an) = n2

    Du kannst eine Zahlenfolge als streng monoton wachsend (an+1 > an) oder fallend (an+1 < an) bezeichnen, wenn die Folgengliederimmer größer bzw. immer kleiner werden, aber nie gleich bleiben.

  3. Nach unten beschränkt: Eine Zahlenfolge ist nach unten beschränkt, wenn die Folgengliedernie kleiner als ein bestimmter Wert t werden. Dann wird die Zahlenfolge durch den Wert t nach unten beschränkt (an ≥ t)
    → Beispiel: (an) = n2 durch t = 1 nach unten beschränkt

    Zahlenfolgen • Definition und Beispiele (8)

    direkt ins Video springen

  4. Nach oben beschränkt: Eine Zahlenfolge ist nach oben beschränkt, wenn die Folgengliedernie größer als ein bestimmter Wert s werden. Dann wird die Zahlenfolge durch den Wert s nach oben beschränkt (an≤ s)
    → Beispiel: (an) = 5 – n · 2 durch s = 3 nach oben beschränkt

    Zahlenfolgen • Definition und Beispiele (9)

    direkt ins Video springen

    Eine Zahlenfolge kannst du als beschränkt bezeichnen, wenn sie sowohl durch einen Wert t nach unten als auch durch einen Wert s nach oben beschränkt wird (t ≤ an≤ s).
  5. Alternierend: Hat bei einer Zahlenfolge jedes Folgengliedein anderes Vorzeichen als das vorherige Zahlenglied, dann ist die Zahlenfolge alternierend (an+1 · an < 0).
    Beispiel: (an) = (-2)n
  6. Konstant: Wenn jedes Folgengliedgleich ist, dann ist die Zahlenfolge konstant(an+1 = an)
    Beispiel: (an) = an-1; a1 = 1

Zahlenfolge — häufigste Fragen

  • Was ist eine Zahlenfolge?
    Eine Zahlenfolge besteht aus mehreren Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge stehen. Du kannst die Folgengliederder Zahlenfolge bestimmen, wenn du auf den Anfangswert eine Zahl addierst, subtrahiert, multiplizierst oder dividierst. Dein Ergebnis ist dann wieder der Anfangswert beim Berechnen des nächsten Zahlenglieds.
  • Was ist eine Bildungsvorschrift?
    Eine Bildungsvorschrift ist eine Möglichkeit, eine Zahlenfolge allgemein darzustellen. So kannst du jedes Folgenglied berechnen und brauchst nicht die ganze Zahlenfolge aufzuschreiben. Wenn du jedes Folgenglied ohne ein vorheriges Folgengliedberechnen kannst, sprichst du von einer expliziten Bildungsvorschrift, sonst ist es eine rekursive Bildungsvorschrift.

Quiz zum ThemaZahlenfolgen

5 Fragen beantworten

Fibonacci Folge

Super! Du weißt jetzt, was eine Zahlenfolge ist und wie du sie bildest. Die Fibonacci Folge ist eine besondere Zahlenfolge. Willst du mehr über sie wissen, dann schau direkt im Video vorbei!

zur Videoseite: Zahlenfolgen

Beliebte Inhalte aus dem BereichAlgebra

  • Fibonacci-FolgeDauer:03:57
  • GrenzwertsätzeDauer:03:43

zur Videoseite: Zahlenfolgen

Weitere Inhalte:Algebra

Folgen

Folgen MatheDauer:05:14
ZahlenfolgenDauer:04:45
Fibonacci-FolgeDauer:03:57
GrenzwertsätzeDauer:03:43
Zahlenfolgen • Definition und Beispiele (2025)

References

Top Articles
Latest Posts
Recommended Articles
Article information

Author: Gregorio Kreiger

Last Updated:

Views: 5952

Rating: 4.7 / 5 (77 voted)

Reviews: 84% of readers found this page helpful

Author information

Name: Gregorio Kreiger

Birthday: 1994-12-18

Address: 89212 Tracey Ramp, Sunside, MT 08453-0951

Phone: +9014805370218

Job: Customer Designer

Hobby: Mountain biking, Orienteering, Hiking, Sewing, Backpacking, Mushroom hunting, Backpacking

Introduction: My name is Gregorio Kreiger, I am a tender, brainy, enthusiastic, combative, agreeable, gentle, gentle person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.